Kafe-sviaz.ru

Финансовый журнал
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Средний срок потока платежей

Средневзвешенная продолжительность платежей (дюрация)

Одним из фундаментальных понятий инвестиционного анализа является средневзвешенная продолжительность потока платежей, или дюрация. Понятие «дюрация» было впервые введено американским ученым Ф. Маколи (F.R. Macaulay) и играет важнейшую роль в анализе долгосрочных ценных бумаг с фиксированным доходом. Предположим, что купонный платеж осуществляется раз в год. Тогда дюрацию D можно определить из следующего соотношения:

где CFt — величина платежа по купону в периоде t;

F — сумма погашения (как правило — номинал);

n — срок погашения,

r процентная ставка (норма дисконта), равная доходности к погашению (r = YTM).

Рассмотрим соотношение более подробно. Нетрудно заметить, что знаменатель представляет собой формулу для расчета текущей стоимости облигации с фиксированным купоном , т.е. — величину PV. Преобразуем соотношение с учетом вышесказанного и величины нормы дисконта r = YTM.

Из полученного следует, что дюрация является средневзвешенной из периодов поступлений по облигации. Используемые при этом веса представляют собой долю каждого дисконтированного платежа в современной стоимости всего потока — PV.

Рассмотрим следующий пример: облигация с номиналом в 1000 и ставкой купона 7%, выплачиваемого раз в год, имеет срок обращения 3 года. Необходимо определить дюрацию данного обязательства. Расчет дюрации для этого примера приведен в табл. 1.

Таблица 1. Расчет дюрации.

Таким образом, средняя продолжительность платежей по 3-х летней купонной облигации приблизительно равна 2,8 года. Дюрация 20-летней облигации с купоном 8% годовых будет равна всего 11 годам, т.е. почти в 2 раза меньше срока погашения! Нетрудно заметить, что дюрация зависит от трех факторов — ставки купона k, срока погашения n и доходности YTM. Эта зависимость для 20-летней облигации при различных ставках k и YTM показана на рис.1.

Графическая иллюстрация взаимосвязи дюрации с показателями n, k и YTM позволяет сделать ряд важных выводов:

· дюрация облигации с нулевым купоном всегда равна сроку ее погашения, т.е.: при k = 0, D = n;

·
дюрация купонной облигации всегда меньше срока погашения:при k > 0, D < n;

·
с ростом доходности (процентной ставки на рынке) дюрация купонной облигации уменьшается и обратно.

Показатель дюрации, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенности временной структуры потока платежей. Как следует из последней формулы, отдаленные платежи имеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки.

Дюрацию часто интерпретируют как средний срок обязательства, с учетом его текущей (современной) величины, или другими словами, как точку равновесия сроков дисконтированных платежей. В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов (например, облигации с нулевым купоном).

Важное теоретическое и прикладное значение в анализе играет предельная величина дюрации (limiting value of duration) — LVD, вычисляемая по формуле:

Отметим следующие свойства этого показателя:

— средняя продолжительность платежей по бессрочным облигациям равна величине LVD, независимо от величины ставки купона;

— дюрация купонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонно возрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своему предельному значению — LVD, по мере приближения срока погашения к бесконечности, т.е. при n, стремящейся к бесконечности , D
стремится к LVD;

— дюрация купонной облигации, приобретенной с дисконтом, достигает своего максимума прежде, чем срок погашения приблизится к бесконечности и затем снижается по направлению к величине LVD.

Однако главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке (доходности к погашению). Таким образом, используя дюрацию, можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок.

В общем случае, процентный риск облигации может быть измерен показателем эластичности ее цены P по отношению к рыночной ставке r. Пусть r = YTM, тогда эластичность EL можно определить по формуле:

Поскольку между ценой облигации и ее доходностью к погашению существует обратная зависимость, величина EL будет всегда отрицательной. Из последней формулы следует, что:

Если r = YTM, то применив дифференцирование можно показать, что:

Читать еще:  Калькулятор расчета дней просрочки платежа

Откуда следует, что EL = D, т.о. дюрация характеризует эластичность цены облигации к изменениям ее доходности.

Преобразуем правую часть последней формулы следующим образом:

Величина, заключенная в квадратные скобки, получила название модифицированной дюрации (modified duration — MD):

Эту формулу часто используют для определения приблизительного изменения цены облигации исходя из предполагаемого изменения доходности к погашению. Рассмотрим это на предыдущем примере: предположим, что облигация была куплена по номиналу. При этом инвестор ожидает рост рыночной процентной ставки на 1%. Определить ожидаемое изменение цены облигации.

Величина средней продолжительности платежей D для этой облигации была найдена при решении примера и составила приблизительно 2.8. Определим ожидаемое процентное изменение YTM:

D YTM = 0,01 / (1 + 0,07) = 0,0093.

Найдем величину MD:

MD = 2,8 / 0,0093 = 2,62.

Предполагаемое процентное изменение цены облигации составит:

D Р = — (0,01 *2,62) = -0,0262 = -2,6%.

Таким образом, курс облигации К должен понизиться на 2,6%.

Поскольку облигация была куплена по номиналу, новый курс должен быть приблизительно равен: 100 — 2,6 = 97,4%.

Осуществим проверку нашего предположения (т.е. определим курс облигации, при условии, что YTM = 8%):

Показателю дюрации присущи некоторые недостатки: первое ограничение вытекает из нелинейной формы связи между YTM и Р. Поскольку скорость изменения показателей при этом будет разной, применение показателей D или MD для прогнозирования цен облигаций в случае значительных колебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса при росте YTM и занижению реального роста курса при уменьшении YTM.

Другим существенным недостатком дюрации как меры измерения процентного риска является неявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом, предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются также, как и долгосрочные. Например, если доходность по 3-х месячным ГКО изменилась на 1%, то и доходность 15-летних ОВВЗ также должна измениться на 1%. Нереалистичность подобного допущения очевидна.

Несмотря на отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей (дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе. Проведенные исследования свойств количественных характеристик облигаций являются теоретической базой для разработки моделей управления портфелями ценных бумаг с фиксированным доходом.

Дюрация как средний срок платежей

Дюрация.

При расчете доходности к погашению неявно предполагалось, что все денежные поступления в каждый период вновь кладутся (реинвестируются) в банк под проценты на оставшееся до погашения время. Но через время процентная ставка может измениться.

Таким образом, возникает как риск реинвестирования, так и риск при продаже ценной бумаги до срока погашения. Поэтому возникла потребность просчитывать риск изменения процентных ставок, приводящий как к обесценению активов, так и к возможности непокрытия имеющихся долгов. В результате возникают задачи контролирования процентного риска для получения безрисковой доходности на вложенный капитал, а также задачи, целью которых является гарантия погашения обязательств.

Одним из способов решения подобных задач является формирование такого пакета облигаций, который, обладая требуемыми свойствами, сохраняет их независимо от изменения доходности на рынке.

Допустим принадлежащий инвестору пакет облигаций производит финансовый поток T, >, с текущей стоимостью Р и обязательной календарной выплатой РК.

(8.1)

Приведенная величина этого потока Р зависит от процентных ставок rt, поэтому их вероятностные изменения могут неблагоприятно сказаться на ее величине и могут также привести к возможности неуплаты долга.

Для простоты будем предполагать, что все доходности одинаковы во времени.

(8.2)

И если в ставке происходят какие-то изменения, то они происходят в самом начале.

Одной из причин изменения процентной ставки является изменение денежного рынка. Так уменьшение денежной массы приводит к неудовлетворенному спросу на деньги. Вследствие этого банки повысят ставку до r > r. При избытке денег банки снижают процентную ставку, и r станет меньше r0.

Дюрация как мера чувствительности.

Имеется функция y=f(x).

Коэффициент чувствительности (эластичности) показывает, на сколько процентов изменится функция y при изменении относительной величины аргумента x на 1 процент.

Коэффициент эластичности определяется выражением:

(3)

(4)

Текущая стоимость денежного потока имеет вид:

Читать еще:  Счет текущих операций платежного баланса

(5)

В итоге, коэффициент чувствительности текущей стоимости Р на изменение процентной ставки r будет равен:

(6)

Находим производную Р по r:

(7)

Подставив (7) в (6) получаем коэффициент эластичности:

(8)

Из выражения (3) получаем:

(9)

(10)

Это выражение называется дюрацией. Размерность дюрации — год.

Подставив (10) в выражение (9) получаем:

(11)

Таким образом, дюрация есть коэффициент чувствительности между относительным изменением наращивания и относительным изменением текущей стоимости.

Имеется облигация номиналом 1000 д.е., купон 5%. Срок погашения 3 года; безрисковая (банковская) ставка 10%. Определить, на сколько уменьшится текущая стоимость облигации при увеличении банковской ставки до 12%.

Данная облигация образует денежный поток. Изобразим его на рисунке.

Текущая стоимость данного потока будет:

д.е.

Дюрация данного денежного потока будет:

года

Определим, на сколько изменится относительная текущая стоимость облигации.

Согласно выражению (11) (для имеем:

В результате текущая стоимость уменьшилась на 4,8%.

Новое значение текущей стоимости облигации стало:

д.е.

Текущая стоимость при увеличении банковской ставки на 2% уменьшилась на 45,4 д.е.

Дюрация как средний срок платежей.

Итак, мы определили дюрацию как чувствительность относительного изменения текущей стоимости к относительному изменению наращивания (1+r).

, которая имеет смысл псевдовероятности, поскольку:

, (т.к. )

Сопоставим потоку платежей T, > искусственную случайную величину Q, равную дате платежа: ее возможные значения соответствуют последовательным моментам датированных выплат. Таким образом, Q принимает целочисленные значения от 1 до Т.

Вероятность каждого из этих значений определим той долей , которую вносит отдельный платеж Сt в текущую стоимость Р всего потока платежей.

Представим обобщенную характеристику потока платежей t>, соответствующую псевдослучайной величине Q, следующим рядом распределения:

Обобщающие параметры потоков платежей

Тема 2. Потоки платежей

Краткое содержание раздела:

Понятие финансового потока. Приведенная и наращенная величины финансового потока. Средний срок финансового потока. Непрерывные потоки платежей.

Регулярные потоки платежей. Обыкновенные ренты. Ренты постнумерандо и пренумерандо. Коэффициенты приведения и наращения рент. Связь между приведенной величиной и наращенной суммой аннуитета. Связь между коэффициентами приведения и наращения рент пренумерандо и постнумерандо.

Расчет параметров ренты.

Вечные, кратные, срочные ренты. р – срочная рента (случаи k = 1, , k = p ). Связь между приведенной и наращенной величинами p – срочной ренты (случаи k = 1, , k = p ). Непрерывные ренты. Связь между приведенной и наращенной величинами произвольных рент.

Сравнение финансовых потоков и рент. Общий принцип сравнения финансовых потоков и рент. Сравнение годовых и срочных рент. Конверсия рент. Замена одной ренты другой. Изменение параметров ренты. Замена обычной ренты срочной. Консолидация рент. Выкуп ренты. Рассрочка платежа.

2.1. Потоки платежей

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примеры: погашение задолженности в рассрочку, выплата пенсии, взносы на расчетный счет и др. Такого рода последовательности называют потоками платежей.

Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Виды рент:

1) обычная годовая – платежи поступают один раз в год,

2) р-срочная – платежи поступают р раз в году,

3) верные и условные (например, кредит – верная рента, пенсия – условная),

4) немедленные, отложенные, отсроченные – отличаются по началу выплат,

5) пренумерандо (выплаты в начале периода) и постнумерандо (выплаты в конце периода).

Основные характеристики рент;

— член ренты R – размер отдельного (годового) платежа,

— период ренты – временной интервал между последовательными платежами (число платежей в году – p, количество начислений процентов в году – m),

— срок ренты n – время от начала первого периода ренты до конца последнего,

— процентная ставка i (j).

Решение.

Пример (билет № 18).В течение 5 лет в конце каждого полугодия на расчетный счет поступают равными долями платежи из расчета 8 млн.руб. в год, на которые ежеквартально начисляются проценты из расчета 20 % годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Найти размер платежей, при которых эта же сумма на расчетном счете образуется за 4 года.

Читать еще:  Спрос это платежеспособная потребность

Решение.

Пример (билет № 9)*.Фирма в качестве компенсации работникам за причиненный им ущерб должна выплатить 100 млн. руб. в течение 25 лет. Платежи должны производиться равномерно в течение этого периода – в конце каждого квартала. Найти реальную (современную) стоимость данной компенсации для фирмы, если принять годовую ставку сложных процентов на уровне 10 %.

Решение.

2.2. Практические приложения

Актуарный метод

Ссуда выдана на период Т, в течение которого предполагаются 2 промежуточных платежа:

1) за период [0, ] сумма выросла до ; в момент времени вносится первый платеж , который включает проценты и часть основного долга; остаток долга – = ;

2) за период [ , ] сумма выросла до ; в момент времени вносится второй платеж , который включает проценты и часть основного долга; остаток долга – = ;

3) за период [ , ] сумма выросла до ; в момент времени вносится последний платеж = , который погашает весь долг.

Если долга обнуляется, то операция называется сбалансированной,а ее контур является замкнутым.

Средний срок потока платежей

Потоки платежей – это платежи, последовательные во времени (выплаты по купонам облигаций, пенсии и т. д.).

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (поступления) и интервалы между платежами одинаковы.

Нерегулярными потоками платежей называются платежи, у которых часть выплат являются положительными величинами (поступления), а другая часть – отрицательными величинами (выплаты сторонним организациям).

Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу.

Наращенная сумма потока платежей – это сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

Современная стоимость потока платежей – это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Например, общий случай потока платежей, где Rk – ряд платежей, имеющих знак «+» или «–»; tk – время выплаты под номером k = 1, 2, . ; K – количество выплат; tK – общий срок выплат; i – сложная процентная ставка наращения, начисляемая один раз в году; выплаты производятся в конце периода (см. рисунок).

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле:

Современная стоимость потока платежей определяется, как

Годовая постоянная рента – такая рента, выплаты которой не изменяются во времени.

По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты делятся на следующие типы:

  • постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;
  • пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;
  • ренты с платежами в середине периода.

Наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:

где – коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Современная стоимость годовой ренты:

где – коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Если выплаты производятся р раз в году, то такая рента называется р-срочной, или рентой с неоднократными выплатами в году.

Разовая выплата такой ренты равна R / p, где R – годовая выплата.

При начислении процентов т раз в году ставку наращения называют номинальной. Обозначим номинальную ставку через j.

Наращенная сумма р-срочной ренты с начислением процентов несколько раз в году вычисляется по формуле:

где коэффициент наращения ренты:

,

где коэффициент приведения ренты:

Для р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году величина годовой выплаты:

,

,

где S и A – наращенная сумма и современная стоимость ренты соответственно; – коэффициенты наращения и приведения ренты соответственно; p – количество выплат в году; m – количество начислений процентов в году; j – номинальная процентная ставка; n – срок ренты в годах.

Для общего случая постоянной ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и неоднократными выплатами в году при известной наращенной сумме формула для определения срока имеет вид:

При расчете срок получается, как правило, дробным, поэтому количество периодов n*p округляется до целого числа. Затем уточняется значение разового платежа по формуле:

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector