Kafe-sviaz.ru

Финансовый журнал
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Рефлексивное бинарное отношение

Примеры рефлексивных отношений

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.

4. Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пример:
Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B:
А = <1, 2, 3, 4, 6, 12>,
B = <1, 2, 3, 6, 9, 18>.

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C:
C = <1, 2, 3, 6>.

Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так:
А ∩B =C.

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустоемножество.
Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:

X ∩Y = Ø.

Объединение двух множеств – это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.

Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:

Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:

D =AUB.

AUB=<1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18>.

5.Декартовым произведением множествA и B называется такое результирующее множество пар вида (x,y), построенных таким образом, что первый элемент из множества A, а второй элемент пары — из множества B. Общепринятое обозначение:

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

Примеры

1.Положим A=<1,2>,B=<3,4>. Тогда результат декартова произведения можно записать так: A×B=<(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)>, а B×A=

2.Если в предыдущем примере положить B=A, очевидно, что A×B=B×A=

6. Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают AB и читают «разность A и B«.

Пример 1. Пусть A есть отрезок [1, 3], B — отрезок [2, 4]; тогда объединением будет отрезок [1, 4], пересечением — отрезок [2, 3], разностью AB— полуинтервал [1, 2), BA — полуинтервал (3, 4].

Пример 2. Пусть A есть множество прямоугольников, B — множество всех ромбов на плоскости. Тогда есть множество всех квадратов, AB — множество прямоугольников с неравными сторонами, BA — множество всех ромбов с неравными углами.

7. Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане ;

§ Операция пересечения множеств коммутативна:

§ Операция пересечения множеств транзитивна:

§ Универсальное множество является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

§ Таким образом булеан вместе с операцией пересечения множеств является абелевой группой;

§ Операция пересечения множеств идемпотентна:

§ Если пустое множество, то

8.Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане

§ Операция объединения множеств коммутативна:

§ Операция объединения множеств транзитивна:

§ Пустое множество является нейтральным элементом операции объединения множеств:

§ Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;

§ Операция пересечения множеств идемпотентна:

Виды отношений

1.Бинарное отношение (двучленное отношение). Бина́рное отноше́ние в математике — двухместное отношение между любыми двумя множествами и , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: [1] . Бинарное отношение на множестве — любое подмножество , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

2. Тернарное отношение — то же, что трёхместное отношение (трёхчленное отношение).

3.Кватернарное отношение — то же, что четырёхместное отношение (четырёхчленное отношение)

10. Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение на множестве , при котором всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Формально, отношение рефлексивно, если .

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент х имеет петлю — дугу (х, х).

Бинарное отношение на множестве является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение на множестве ( ), то есть .

Читать еще:  Куда вложить евро под проценты

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества , то отношение называется антирефлексивным (или иррефлексивным).

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества , говорят, что отношение нерефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений

· отношение равенства

· отношение сравнимости по модулю

· отношение параллельности прямых и плоскостей

· отношение подобия геометрических фигур;

· отношения нестрогого порядка:

· отношение нестрогого неравенства

· отношение нестрогого подмножества

· отношение делимости

Рефлексивное отношение

В математике бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Формально, отношение рефлексивно, если .

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю — дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества , то отношение называется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества , говорят, что отношение нерефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений

  • отношения эквивалентности:
    • отношение равенства
    • отношение сравнимости по модулю
    • отношение параллельности прямых и плоскостей [источник не указан 298 дней]
    • отношение подобия геометрических фигур;
  • отношения нестрогого порядка:
    • отношение нестрогого неравенства
    • отношение нестрогого подмножества
    • отношение делимости

Примеры антирефлексивных отношений

  • отношение неравенства
  • отношения строгого порядка:
    • отношение строгого неравенства
    • отношение строгого подмножества
  • отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в геометрии.

См. также

  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Рефлексивное отношение» в других словарях:

рефлексивное отношение — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN reflexive relation … Справочник технического переводчика

Рефлексивное замыкание — Отношения R на множестве X называется рефлексивным , если для любого хєХ имеет место хRх, то есть каждый элемент хєХ находится в отношении R к самому себе. С определения выплывает, что в случае конечного множества А: (R – рефлексивное) ó (ɏi:… … Википедия

ОТНОШЕНИЕ — в логике то, что в отличие от свойства характеризует не отдельный предмет, а пару, тройку и т.д. предметов. Традиционная логика не рассматривала О.; в современной логике О. пропозициональная функция от двух или большего числа переменных. Бинарным … Философская энциклопедия

Отношение предпочтения — в теории потребления это формальное описание способности потребителя сравнивать (упорядочивать по желательности) разные наборы товаров (потребительские наборы). Чтобы описать отношение предпочтения, не обязательно измерять желательность… … Википедия

отношение предметно-рефлексивное — интериоризованная (см. интериоризация) система рефлексивных связей субъекта с другими людьми, основанная на способности к мысленному отражению позиции «другого» или его представлений об особенностях собственного видения предмета, объекта,… … Большая психологическая энциклопедия

отношение — ОТНОШЕНИЕ множество упорядоченных п ок индивидов (где п > 1), т.е. двоек, троек и т.д. Число п называется «местностью», или «арностью», О. и, соответственно, говорят о n местном (п арном) О. Так, например, двуместное О. называют… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

отношение типа равенства — двухместное отношение R между предметами х и у области D (см.: Предметная область), удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям): 1) аксиоме рефлексивности: xRx (предмет находится в отношении R к самому себе) (см.: Отношение рефлексивное); 2)… … Словарь терминов логики

отношение нерефлексивное (иррефлексивное) — двухместное отношение R, определенное на некотором множестве, такое, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), т. е. возможен случай, что элемент множества не находится в… … Словарь терминов логики

Читать еще:  Бизнес своими руками без вложений

отношение рефлексивное — бинарное (двухместное) отношение R, определенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого х некоторого множества элемент х находится в отношении R к самому себе, т. е. для любого элемента х этого множества имеет место xRx.… … Словарь терминов логики

Бинарное отношение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение. В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется… … Википедия

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей %%M%%. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество %%R%%. Переберем все пары %%(a, b)%%, где %%a, b%% пробегают множество всех людей. Если %%a%% уважает %%b%%, то пару %%(a,b)%% отнесем к множеству %%R%%, иначе — нет.

Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек %%a%% человека %%b%%, то просмотрим множество %%R%%. Если пара %%(a, b) in R%%, то заключаем, что %%a%% уважает %%b%%. В случае %%(a,b) notin R%% — %%a%% не уважает %%b%%.

Определение

Бинарным отношением, определенным на множестве %%M%%, называется произвольное подмножество %%R%% из декартового произведения %%M^2%%.

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве %%M = <1, 2>%%. Тогда

$$ M^2 = big <(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)big>$$ Из него выбирем все пары %%(a,b)%%, где %%a > b%%. Получим $$ R = big <(2,1)big>$$

Виды бинарных отношений

Рефлексивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется рефлексивным, если для любого элемента %%a%% из %%M%%, выполняется условие %%a

a%%. $$ begin forall ain M

a text< или>\ forall ain M

Примеры

  1. Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
  2. Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным, так как каждое действительное число равно самому себе.

Симметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется симметричным, если для любых двух элементов %%a, b%% из %%M%%, из условия %%a

b%% следует условие %%b

a text< или>\ forall a,bin M

(a,b) in R rightarrow (b,a) in R. end $$

Примеры

  1. Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если %%a > b%%, то условие %%b > a%% не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
  2. Пусть %%R%% — отношение, определенное на множестве %%M = %%. При этом %%R = big< (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)big>%%. Для этого отношения имеем %%forall x,y in M

(x,y) in R rightarrow (y,x) in R%%. По определению %%R%% симметрично.

Транзитивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется транзитивным, если для любых элементов %%a, b, c%% из %%M%%, из условий %%a

c%% следует условие %%a

c text< или>\ forall a,b,cin M

(a,b) in R land (b,c) in R rightarrow (a,c) in R. end $$

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным, так как для любых элементов выполняется условние %%forall a,b,cin M

a > b land b > c rightarrow a > c%%. Так, например, подставив вместо %%a, b%% и %%c%% числа %%2, 1%% и %%0%% соответственно, получим: если %%2 > 1%% и %%1 > 0%%, то %%2 > 0%% — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).

Антисимметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется антисимметричным, если для любых элементов %%a, b%% из %%M%%, из условий %%a

a%% следует условие %%a = b%%.

a rightarrow a = b text< или>\ forall a,bin M

(a,b) in R land (b,a) in R rightarrow a = b. end $$

Пример

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если %%a geq b%% и %%b geq a%%, %%a = b%%.

Эквивалентное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.

Отношение частичного порядка

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.

Построение отрицаний

Пусть %%R%% — бинарное отношение на множестве %%M%%, и %%P%% — одно из следующих условий:

  • отношение %%R%% рефлексивно,
  • отношение %%R%% симметрично,
  • отношение %%R%% транзитивно,
  • отношение %%R%% антисимметрично.

Построим для каждого из них отрицание выполнения условия %%P%%.

Отрицание рефлексивности

По определению %%R%% рефлексивно, если каждый элемент множества %%M%% находится в отношении %%R%% к самому себе, то есть %%forall a in M

a%%. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание %%overline

a>%%. Используем равносильность %%overline equiv exists x overline%%. В нашем случае получаем %%forall a in M

a equiv exists ain M

Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:

%%R%% не рефлексивно тогда и только тогда, когда

%%R%% не симметрично тогда и только тогда, когда

$$ exists a, b in M

%%R%% не транзитивно тогда и только тогда, когда

$$ exists a, b, c in M a

%%R%% не антисимметрично тогда и только тогда, когда

Рефлексивное бинарное отношение

Покажите, что каждое полное бинарное отношение является рефлексивным. [c.20]

Приведите пример симметричного, но не рефлексивного бинарного отношения. [c.20]

В частности, бинарное отношение называют эквивалентностью, если оно обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности. Это отношение играет важную роль при принятии решений, поскольку моделирует факт разбиения множества предъявленных ЛПР элементов на определенные классы одинаковой предпочтительности. Элементы, принадлежащие одному классу эквивалентности, равноценны по предпочтению, а принадлежащие разным классам — резко различаются по предпочтительности при их сравнении с элементами других классов. Эквивалентность между элементами можно понимать как их взаимозаменимость при выборе для ЛПР. При этом свойство транзитивности очень важно для однозначности отнесения объекта к тому или иному классу. Если отношение предпочтения только лишь симметрично и рефлексивно, то оно будет толерантностью (образовывать класс «похожих» элементов), но не эквивалентностью. Так, например, результаты сортировки в ходе экспертизы могут моделироваться либо как эквивалентность, либо как толерантность — в зависимости от степени уверенности, с которой ЛПР сортировало множество предъявления в соответствии со своими предпочтениями. Обычно ЛПР среди предъявленных ему элементов может уверенно отнести к тому или иному классу лишь элементы субъективно «сильно» различающиеся между собой, а среди оставшихся, «похожих», действует менее уверенно. В результате транзитивность на [c.170]

Пусть Х- множество студентов учащихся в этом учебном году в Новосибирском Государственном Университете, 91 — отношение выше ростом, чем заданное на X. Посмотрим, каким указанным выше свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение. Очевидно, что какого бы мы студента не взяли, его рост не может быть больше его же роста, т.е., например, 175 не может быть больше 175. Таким образом, это отношение является иррефлексивным и не удовлетворяет свойству рефлексивности. Это отношение также является [c.17]

Часто это свойство также называют нерефлексивностью, но при такой терминологии возникают довольно странные выражения типа — бинарное отношение не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным . Что бы избежать этой игры слов, мы и используем выбранный вариант. [c.17]

Пусть Х=М+, на этом множестве задано отношение 91 по правилу (ж15ж2) T iy y2) х1 + у2 у1+ х2. Перед тем как отвечать на вопрос о том, каким свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение, заметим, что xl + у2 yl + х2 xl — х2 yl — у2, т.е. (жьж2) Т у у2) х1 — х2 У у2. Как не сложно догадаться, данное бинарное отношение удовлетворяет тем же свойствам, что и отношение на действительной прямой, т.е. полнота, транзитивность, рефлексивность. Проверьте самостоятельно выполнение/невыполнение условий симметричности/асимметричности и отрицательной транзитивности. [c.18]

Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству рефлексивности, ни свойству иррефлексивности. [c.20]

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector