Kafe-sviaz.ru

Финансовый журнал
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Математические методы анализа систем

Математические методы анализа систем

Существенными свойствами систем являются наличие связей между элементами и процесс преобразования, происходящий в системе. Система считается полностью определенной, если известны элементы, связи между ними и наблюдаемые величины, используемые для описания системы. Определение системы должно учитывать ее существенные свойства. В качестве элементов могут выбираться объекты, их свойства, величины и значения величин. Следует различать элементы исходного множества, на котором строится система, и элементы системы, которые сами могут быть множествами. При формальном описании системы в качестве ее элементов обычно используются свойства и величины. Необходимо иметь в виду, что любая формализация основана на упрощениях и учитывает лишь некоторые аспекты понятия. В символьном виде система определяется как множество элементов с отношениями

где … – множества элементов, а …– отношения, определяющие связи элементов одного или нескольких множеств, причем элементами здесь являются объекты. Вводя обозначения элементов, имеем

где индексы независимо пробегают некоторое множество .

Приведем два определения, оперирующие величинами. В первом из них система рассматривается, как подмножество, задаваемое в пространстве величин, при этом отношение не определяется в явном виде. Второе определение рассматривает систему, как преобразователь входных величин в выходные, т.е. с точки зрения процессов, происходящих в системе. Это определение характерно для класса автоматов.

Определение 1. Системой называется отношение на непустых множествах

где – символ декартова произведения; I – множество индексов; Vi – элементы системы. Если I конечно, то (6.1.3) принимает вид

Пусть множества , образуют разбиение множества элементов V, при этом выполняются соотношения Æ и . Множество называется входным элементом (входом), а – выходным элементом (выходом) системы. Тогда система называется системой “вход – выход”. Если S является функцией, то соответствующая система называется функциональной. Связь между входом и выходом системы может задаваться в виде обычной функции, оператора или матрицы.

Определение 2 (для системы с конечным числом состояний). Система определяется в виде кортежа (упорядоченного набора элементов)

где X – множество допустимых входов; Y – множество допустимых выходов; – множество допустимых состояний, – функция перехода из одного состояния в другое, – функция выхода.

Таким образом, система формально определяется в терминах ее наблюдаемых величин и взаимосвязей между ними, при этом их конкретная интерпретация может быть различной. Это отражает суть системного подхода, направленного на выяснение организации и взаимосвязей элементов систем вне зависимости от их природы.

Приведенные определения допускают обобщение на нечеткий случай. Нечеткая система определяется выражениями вида (6.1.1) – (6.1.5), в которых – нечеткие множества, – нечеткие отношения, – нечеткие функции. Нечеткое множество определяется в виде , аналогично задаются нечеткое отношение и нечеткая функция .

Аксиоматический подход к понятию сложности. Понятие сложности является многоаспектным. В разделе 3.2.2 рассматривалась вычислительная сложность. В общем случае сложность системы не может быть измерена в абсолютной мере, а только в шкале порядка, т.е. с точностью до монотонного преобразования. Однако для класса систем, относящихся к автоматам, можно определить понятие сложности с помощью аксиом таким образом, что оказывается возможным ее измерение в шкале отношений. Для структурной сложности имеют место следующие аксиомы:

Читать еще:  Метод анализа главных компонентов

Если , то , т.е. сложность подсистемы не может быть больше, чем сложность всей системы.

2. Параллельное соединение.

Если , то , т.е. при параллельном соединении подсистем сложность суммарной системы определяется наиболее сложной ее частью.

3. Последовательное соединение.

Если , то , т.е. сложность системы не больше суммарной сложности подсистем.

4. Соединение с обратной связью.

где – сложность обратной связи из в .

для всех , т.е. в множестве систем существует подмножество “элементарных” систем , сложность которых равна нулю.

Здесь предполагается, что измерение сложности проводится в шкале отношений с одной степенью свободы и фиксированным нулем, т.е. результат измерения выражается числом. В качестве меры сложности в этом случае можно выбрать, например, число элементов в системе или число отношений между элементами.

Приведенных аксиом оказывается достаточно для определения мер структурной сложности систем, задаваемых различными способами. Для систем с конечным числом состояний эти аксиомы однозначно определяют меру сложности, причем их количество является минимальным. Эти аксиомы также удобны при алгебраическом подходе к анализу и оценке сложности.

Рассмотрим применение аксиом для оценки сложности систем с различной структурой. Для последовательно-параллельной структуры, состоящей из последовательных уровней, на каждом из которых имеется соответственно параллельных элементов, сложность определяется выражением

где – сложность элемента первого уровня и т.д.

Для сетевых структур сложность оценивается с помощью второй и четвертой аксиом. Например, сложность сетевой структуры, состоящей из элементов, в которой каждый элемент связан со всеми другими (многоугольник с диагоналями), определяется выражением

где – сложность элемента , – сложность связи элементов и .

Сложность поведения, вообще говоря, не определяется приведенными выше аксиомами. Аксиома иерархичности может нарушаться, если при переходе от системы к подсистеме или наоборот меняется тип поведения. Аксиома нормализации не может быть установлена, так как измерение сложности поведения осуществляется в шкале порядка. Имеет место аксиома типовой сложности

где индекс (1) относится к детерминированному поведению, индекс (2) – к случайному, индекс (3) – к нечеткому.

Можно подойти к определению сложности поведения формально, т.е. считать, что, чем сложнее структура системы, тем сложнее ее поведение. Тогда в пределах типа могут быть сохранены аксиомы, сформулированные для сложности структуры, однако они не являются вполне адекватными. Если тип поведения меняется при переходе от системы к подсистемам или наоборот, то происходит скачкообразное изменение сложности.

Аксиоматический подход может быть реализован для класса автоматов в пределах детерминированного типа поведения. В качестве систем с «элементарным» поведением в этом случае можно выбрать одношаговую детерминированную машину Тьюринга, а в качестве меры сложности поведения системы – функцию преобразования. Распространение аксиом на другие типы поведения (случайное и нечеткое) довольно проблематично.

Математические методы анализа систем

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ: МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

1 курс, ГОБУ СПО ВО «СГТЭК», г. Семилуки

Евдокимова Марина Дмитриевна

Читать еще:  Анализ ценовой политики предприятия на примере

научный руководитель, преподаватель высшей категории, преподаватель математики, ГОБУ СПО ВО «СГТЭК», г. Семилуки

Очень часто перед человеком стоит выбор: куда пойти учиться, какой фирмы купить компьютер или другой товар, как выбрать имя ребенку и многое другое. И иногда, остановившись на нескольких вариантах, сделать такой выбор очень сложно.

Я хотел бы представить свою работу «Математические модели реальных процессов: метод анализа иерархий».

Этот метод относится к теме «системный анализ».

Системный анализ, чьи основы являются достаточно древними, — все же сравнительно молодая наука. Системный анализ имеет применение в любой предметной области.

Эта наука, как и любая другая, ставит своей целью исследование новых связей и отношений объектов и явлений. Но основной проблемой системного анализа является исследование связей и отношений таким образом, чтобы изучаемые объекты стали бы более доступными для управления и изучения.

«Само слово «система» (организм, строй, целое, составленное из частей) возникло в Древней Греции около 2000 лет назад.

А наибольший вклад в зарождение и развитие системного анализа, системного мышления внесли такие ученые, как: Аристотель, Платон, Р. Декарт, Ф. Бэкон, И. Кант, И. Ньютон, Ф. Энгельс, А.И. Берг, А.А. Богданов, Н. Винер, Л. Берталанфи, Ч. Дарвин, И. Пригожин, Э. Эшби, А.А. Ляпунов, Н.Н. Моисеев и другие» [1, с. 10].

Метод анализа иерархий разработан в 70-х годах XX века американским математиком Томасом Саати (Thomas L. Saaty).

На русском языке метод анализа иерархий подробно описан в его книгах: Т. Саати. «Принятие решений. Метод анализа иерархий» (1993) и Т. Саати, К. Кернс. «Аналитическое планирование. Организация систем» (1991).

В основе этого метода лежит серьезный математический аппарат, но понять основы можно и не обладая глубокими познаниями в математике.

Метод анализа иерархий позволяет произвести выбор необходимого товара или услуги, используя парные сравнения между собой альтернатив и их характеристик.

Под альтернативами понимаются различные варианты выбора, то есть, то из чего мы выбираем. Например, в нашей задаче, альтернативы — это модели ноутбуков, между которыми мы выбирали.

Под характеристиками понимаются различные значимые для выбора свойства альтернатив.

При решении задачи, на первом этапе, я выбрал для себя пять моделей ноутбуков, наиболее понравившихся мне, но окончательный выбор, между которыми сделать так и не смог. И для каждой модели выделил наиболее важные характеристики — процессор, ОЗУ, жесткий диск, размер экрана и цена.

Следующий этап метода анализа иерархий — определение степени важности характеристик. При сравнении, одни из них могут быть важнее, чем другие и задача метода определить степень важности каждого. Для ноутбуков, например, размер жесткого диска, может быть гораздо важнее, чем размер ОЗУ. А может быть и все наоборот, ведь все зависит от человека, который делает выбор.

Для определения степени важности производят парные сравнения всех характеристик между собой по шкале от 1 до 9.

Математические методы экономического анализа

Понятие математических методов экономического анализа

При аналитическом изучении деятельности предприятия используются математические методы исследования. Данные методы позволяют расширить изучение факторов, влияющих на хозяйственную деятельность организации, что в свою очередь позволит увеличить количество резервов повышения качества. Внедрение методов на современном этапе позволяет определить потребность оперативного вмешательства и прогнозирования возможных исходов, а это практически невозможно без аналитического исследования.

Читать еще:  Метод графического анализа крестики нолики

Под экономическим анализом понимают прикладную научную дисциплину, представляющую собой систему специальных знаний, позволяющих оценить эффективность деятельности того или иного субъекта рыночной экономики.

Виды методов экономического анализа

Условно методы экономического анализа делят на математические и традиционные. Под традиционными методами принято понимать оценку функциональной зависимости, которая возникает между показателями. Математические методы используются при анализе стохастической системы.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Математические методы помогают выявить более точные результаты и создают подробную картину воздействия факторов на деятельность организации. В совокупности это ускоряет процесс экономического анализа. Для того, чтобы использовать математические методы необходимо:

  • разработать математическую модель;
  • учесть взаимосвязь между объектами;
  • использовать системный подход;
  • усовершенствовать систему благодаря информационному обеспечению.

Задачи экономического анализа возможно решить математическим методом только в том случае, если их формулировка имеет математический вид. Другими словами, все взаимосвязи выражены при помощи математического анализа.

К математическому методу относят:

  • методы экономической кибернетики;
  • методы математического программирования;
  • методы элементарной математики;
  • методы математической статистики;
  • эконометрические методы;
  • методы исследования операций;
  • классические методы математического анализа;
  • метод теории оптимальных процессов.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Данная классификация условна, так в зависимости от организации и необходимого результата используют различные вариации.

Метод экономической кибернетики используют при анализе сложных систем. Наиболее используемые методы в этой области — это метод системного анализа и моделирования.

Для оптимизации хозяйственных процессов организации используют метод математического программирования. Данный метод позволяет дифференцировать результат, определить уровень поставленной задачи и выявить лимитирующие группы сырья и оборудования.

Традиционные расчеты ресурсов при разработке и планировании на предприятии относят к методам элементарной математики.

Методы статистики используют в массовых явлениях. Данный метод позволяет проанализировать возможные изменения показателей. В случае выявления между исследуемыми характеристиками стохастической связи, только статистические методы позволяют провести анализ.

Эконометрический метод основывается на трех составляющих: математика, статистика и экономика. В основе данного метода лежит эконометрическая модель. Другими словами, процесс или явление представляет собой схематическое представление. Данные модели построены по шахматной схеме и используется для выявления связи между затратами и результатом.

Для того, чтобы разработать и оценить наилучший вариант действий, используют методы исследования операций. Данные методы позволяют выбрать наилучший показатель из возможных.

Классические методы математического исследования используют как в совокупности с другими методами, так и отдельно.

Метод теории оптимальных процессов направлен на построение системы, которая сведет к минимуму функционал поставленной задачи и определит точное решение.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector